QLog (Quantized Log)

Bit et Qubit

Classé dans : quantique — Sebastiao Correia 31 mai 2007 @ 20:15
Imprimer ce billet Imprimer ce billet

Voici un petit article sympa dans lequel les auteurs montrent qu’un qubit (un bit quantique) peut être vu comme la généralisation matricielle du bit classique. L’article fait 4 pages. La deuxième page est suffisante pour comprendre ce que présentent les auteurs. Le reste n’est que la généralisation à d dimensions.

Le point de départ est l’équation de Boole : x^2=x qui montre que les symboles logiques peuvent s’écrire sous la forme 0 ou 1. Les auteurs généralisent l’équation à une matrice P(x) :
P(x)^2=P(x) avec x in delim{lbrace}{0,1}{rbrace} un symbole logique. Cette équation est l’équation d’un projecteur (opérateur familier de la mécanique quantique).

La solution de cette équation est la matrice
P(x)=(matrix{2}{2}{1-x 0 0 x}).

Le lien avec la notation de Dirac est donné par
P(x)= | x >< x | avec |x > =(matrix{2}{1}{1-x  x}).

On retrouve les qubits de base |0> et |1> pour les valeurs 0 et 1 de x. Un qubit est donc un vecteur à 2 dimensions.

Une particule de spin 1 possède 3 états de spin et représente un qutrit (bit quantique à 3 niveaux). Cet état est représenté par un vecteur à 3 dimensions dépendant de la variable logique classique x in  delim{lbrace}{yes, no, unknown}{rbrace} – voir l’Equ. (7).

En dimension d, la variable logique x in delim{lbrace}{0,1,... , d-1}{rbrace} possède donc d modalités.

Je manque encore un peu de culture sur les différentes logiques, mais il me semble que cette approche est lié à la logique polyvalente. En parcourant un peu l’historique de cette logique, on voit qu’elle est apparue dans les années 20 et qu’elle a conduit aux ensembles flous (utilisés parfois pour représenter des structures quantiques) et à la logique floue.

Pour leurs généralisations, les auteurs utilisent toujours l’équation P(x)^2=P(x) et l’équation de normalisation Tr P(x) = 1, mais l’équation de Boole n’est pas conservée. Une question que l’on peut se poser est : pourquoi conserver l’équation de Boole matricielle en dimension supérieure à 2 et pas l’équation de Boole usuelle ?