QLog (Quantized Log)

Bit et Qubit

Classé dans : quantique — Sebastiao Correia 31 mai 2007 @ 20:15
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Voici un petit article sympa dans lequel les auteurs montrent qu’un qubit (un bit quantique) peut être vu comme la généralisation matricielle du bit classique. L’article fait 4 pages. La deuxième page est suffisante pour comprendre ce que présentent les auteurs. Le reste n’est que la généralisation à d dimensions.

Le point de départ est l’équation de Boole : x^2=x qui montre que les symboles logiques peuvent s’écrire sous la forme 0 ou 1. Les auteurs généralisent l’équation à une matrice P(x) :
P(x)^2=P(x) avec x in delim{lbrace}{0,1}{rbrace} un symbole logique. Cette équation est l’équation d’un projecteur (opérateur familier de la mécanique quantique).

La solution de cette équation est la matrice
P(x)=(matrix{2}{2}{1-x 0 0 x}).

Le lien avec la notation de Dirac est donné par
P(x)= | x >< x | avec |x > =(matrix{2}{1}{1-x  x}).

On retrouve les qubits de base |0> et |1> pour les valeurs 0 et 1 de x. Un qubit est donc un vecteur à 2 dimensions.

Une particule de spin 1 possède 3 états de spin et représente un qutrit (bit quantique à 3 niveaux). Cet état est représenté par un vecteur à 3 dimensions dépendant de la variable logique classique x in  delim{lbrace}{yes, no, unknown}{rbrace} – voir l’Equ. (7).

En dimension d, la variable logique x in delim{lbrace}{0,1,... , d-1}{rbrace} possède donc d modalités.

Je manque encore un peu de culture sur les différentes logiques, mais il me semble que cette approche est lié à la logique polyvalente. En parcourant un peu l’historique de cette logique, on voit qu’elle est apparue dans les années 20 et qu’elle a conduit aux ensembles flous (utilisés parfois pour représenter des structures quantiques) et à la logique floue.

Pour leurs généralisations, les auteurs utilisent toujours l’équation P(x)^2=P(x) et l’équation de normalisation Tr P(x) = 1, mais l’équation de Boole n’est pas conservée. Une question que l’on peut se poser est : pourquoi conserver l’équation de Boole matricielle en dimension supérieure à 2 et pas l’équation de Boole usuelle ?

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