Voici un petit article sympa dans lequel les auteurs montrent qu’un qubit (un bit quantique) peut être vu comme la généralisation matricielle du bit classique. L’article fait 4 pages. La deuxième page est suffisante pour comprendre ce que présentent les auteurs. Le reste n’est que la généralisation à dimensions.

Le point de départ est l’équation de Boole : qui montre que les symboles logiques peuvent s’écrire sous la forme 0 ou 1. Les auteurs généralisent l’équation à une matrice :
avec un symbole logique. Cette équation est l’équation d’un projecteur (opérateur familier de la mécanique quantique).

La solution de cette équation est la matrice
.

Le lien avec la notation de Dirac est donné par
P(x)= | x >< x | avec |x > =.

On retrouve les qubits de base |0> et |1> pour les valeurs 0 et 1 de . Un qubit est donc un vecteur à 2 dimensions.

Une particule de spin 1 possède 3 états de spin et représente un qutrit (bit quantique à 3 niveaux). Cet état est représenté par un vecteur à 3 dimensions dépendant de la variable logique classique – voir l’Equ. (7).

En dimension , la variable logique possède donc modalités.

Je manque encore un peu de culture sur les différentes logiques, mais il me semble que cette approche est lié à la logique polyvalente. En parcourant un peu l’historique de cette logique, on voit qu’elle est apparue dans les années 20 et qu’elle a conduit aux ensembles flous (utilisés parfois pour représenter des structures quantiques) et à la logique floue.

Pour leurs généralisations, les auteurs utilisent toujours l’équation et l’équation de normalisation , mais l’équation de Boole n’est pas conservée. Une question que l’on peut se poser est : pourquoi conserver l’équation de Boole matricielle en dimension supérieure à 2 et pas l’équation de Boole usuelle ?

Dans un article de Physics World, D. Kaiser explique que la taille des classes infuence la façon dont la mécanique quantique est abordée. Plus une classe est remplie, moins l’enseignant se penche sur les aspects philosophiques de la mécanique quantique.

Avant la deuxième guerre mondiale, l’enseignement de la physique quantique incitait à réfléchir sur les conséquences de la théorie sur la conception du monde.

Après la guerre, les classes (surtout aux Etats-Unis) se sont remplies. On formait beaucoup de physiciens pour le nucléaire. Le but alors n’était plus de comprendre, mais de calculer. Les questions d’ordre plus philosophiques étaient plutôt des distractions par rapport à la tâche principale qui était l’approfondissement des conséquences de la théorie quantique, par le calcul. L’enseignement portait donc sur le comment et non sur le pourquoi.

Passée cette période d’après-guerre, le nombre d’étudiants en physique a commencé a chuter énormément dans les années 70. Et les aspects philosophiques laissés de côté sont réapparus dans les cours et dans les livres.

Actuellement, il y a un grand retour sur les fondements de la physique quantique. Avec les nouvelles orientations vers des aspects liés à la théorie de l’information (ordinateurs quantiques, algorithmes quantiques…), beaucoup essaient de mieux appréhender la signification de la mécanique quantique, ou de l’appréhender différemment à partir des avancées faites en théorie des probabilités, théorie de l’information…

Ainsi, on peut se poser la question d’actualité suivante : La désaffection des étudiants pour les sciences dures pourrait-elle avoir un aspect positif ?

La compagnie canadienne D-Wave a fait beaucoup de bruit en février dernier en présentant une démonstration de son ordinateur quantique appelé Orion. La présentation est disponible en pdf ici. Le processeur est composé de 16 qubits et la compagnie prévoit de passer à 1024 qubits fin 2008.

Geordie Rose, un des fondateurs de D-Wave, explique dans les colonnes de Physics World que Orion n’est pas en fait un ordinateur complètement quantique. Il est construit selon la théorie des ordinateurs quantiques adiabatiques (adiabatic quantum computers). Une des limitations de cette technologie est l’impossibilité de simuler des systèmes quantiques.

Il indique également qu’un ordinateur quantique ne saura probablement pas résoudre des problèmes NP-difficiles exponentiellement plus vite qu’un ordinateur classique.  Selon lui, le gain en vitesse pourra n’être que quadratique, ce qui serait déjà une grande avancée pour certains problèmes.

Contrairement à ce que prédisait une grande partie des chercheurs, il se pourrait bien qu’on n’attende pas 2050 pour assister à une petite révolution dans le monde des ordinateurs… D’autant plus que les algorithmes quantiques actuellement connus concernent des domaines très importants comme la cryptographie et la recherche d’information dans des bases de données.

Selon la mécanique quantique, les expériences sur les particules quantiques présentent un aspect corpusculaire et ondulatoire à la fois. C’est la fameuse dualité « onde-corpuscule ». A ce sujet, voir ce billet.

Le principe de complémentarité de Bohr prévoit quant à lui qu’il n’est pas possible d’observer les deux aspects en même temps. Et jusqu’à récemment, c’était vrai : les expériences (dont l’expérience des fentes d’Young) montraient soit l’aspect ondulatoire, soit l’aspect corpusculaire.

Shahriar S. Afshar a repris l’expérience des fentes d’Young et l’a adaptée pour qu’elle puisse révéler les deux aspects à la fois. Le système est ingénieux et presque trivial. Le tout était d’y penser.

Son expérience semble réfuter le principe de complémentarité de bohr, puisqu’elle montre que les photons se comportent de façon ondulatoire malgré la connaissance du chemin par lequel ils sont passés (en tant que particules). Si cette expérience se confirme, ça pourrait bien être une petite révolution dans le « monde quantique ».

Sources :

1. Le blog d’Automates Intelligents : Pourra-t-on sauver le soldat Niels Bohr? où l’on trouvera un schéma de l’expérience.
2. L’article de Shahriar S. Afshar est ici.
3. Voir aussi l’article d’Automates intelligents de juillet 2004.

[quant-ph/0612033] Approche intrinsèque des fluctuations quantiques en mécanique stochastique

Encore un article sur la dérivation de la mécanique stochastique de Nelson. L’article est très court et en Français.

L’idée du papier est de montrer que les fluctuations quantiques se déduisent de la nature discrète du temps et de la fractalité des trajectoires microscopiques. Il s’appuie sur les mathématiques non standard.

Le temps est donc discrétisé. La reformulation du principe de Heisenberg par Feynman permet de montrer que les trajectoires sont continues, mais non différentiables :

Le signe devant est une variable aléatoire et les valeurs +1 ou -1 sont supposées équiprobables. On a donc une marche aléatoire.

Si est markovien ( et sont des fonctions de et et non de ), alors cette marche aléatoire équivaut à une équation différentielle stochastique usuelle.

L’introduction d’un champ de fluctuations quantiques de nature browniennes pour justifier la mécanique stochastique de Nelson n’est plus nécessaire.

Note :
Ces travaux et d’autres montrent l’importance grandissante des mathématiques non standard. En particulier, le temps jusque là toujours considéré comme réel et continu semble montrer des signes de fatigue. La discrétisation du temps semble de plus en plus s’imposer pour justifier les équations « étranges » de la mécanique quantique.

[quant-ph/0609109] Could quantum mechanics be an approximation to another theory?

Voici un article intéressant qui demande à être étudié plus en détails. Plusieurs raisons poussent l’auteur à penser que la mécanique quantique pourrait n’être que l’approximation d’une théorie plus profonde :

1. les difficultés qu’il y a à étendre la mécanique quantique à la cosmologie,
2. le problème de la mesure,
3. les succès de la théorie de l’information,
4. la « non-localité » mise en évidence expérimentalement par les expériences EPR.

L’auteur se pose la question des conditions que doit remplir une théorie cosmologique non locale qui reproduirait les résultats de la mécanique quantique. Selon Lee Smolin, une telle théorie peut être déterministe ou stochastique, mais doit certainement être non locale. Cette non-localité pourrait d’ailleurs s’expliquer à l’aide de théories microscopiques de l’espace-temps.

Pour Smolin, la dynamique stochastique de Nelson est une étape de la dérivation de la mécanique quantique à partir d’une théorie à variables cachées. Elle serait une sorte de théorie effective décrivant de façon approximative un sous-système de l’univers.

Smolin aboutit à une liste de conditions à remplir pour que la mécanique quantique soit vue comme une approximation d’une théorie non locale décrivant un sous-système :

1. Pour que le sous-système soit décrivable en termes d’équation différentielle stochastique, il faut que la moyenne faite sur les variables cachées introduise un bruit aléatoire dans l’évolution du sous-système.
2. Il doit y avoir une notion d’énergie moyenne conservée dans le temps.
3. Le système doit rester invariant par renversement du temps même après la moyene prise sur les variables cachées.
4. Les premières dérivées spatiales et temporelles sont suffisantes pour une approximation à basse énergie de la dynamique moyenne. Ce qui impose au courant de probabilité des variables du sous-système d’être irrotationnelles.

Les conditions 2 et 3 sont très contraignantes et non respectées habituellement lorsque l’on décrit un système couplé à un réservoir.

Dans le premier paragraphe, Smolin montre comment la mécanique quantique peut être retrouvée à partir de la formulation stochastique de Nelson.

Dans cette dérivation, on retrouve le potentiel quantique de la théorie de Bohm (Eq. 17). Smolin interprète de deux manières la possibilité d’obtenir la mécanique quantique à partir de la mécanique de Nelson :

• Soit on suppose que l’énergie d’une particule peut dépendre du gradient de la densité de probabilité de présence de la particule. L’ensemble statistique rentre ainsi en jeu et influence la particule (comme c’est le cas pour la théorie de Bohm).
• Soit on suppose que cette dépendance non linéaire est le résultat d’une moyenne sur une distribution de variables cachées non locales.

Smolin s’attaque à ce point dans le paragraphe suivant. Son but est de montrer que la théorie de Nelson peut à son tour être la conséquence d’une théorie à variables cachées.

Pour cela, le temps est discrétisé . Les variables cachées sont supposées différentiables par rapport au temps.

Dans le calcul de l’énergie cinétique moyenne , Smolin fait l’hypothèse d’interchangeabilité entre la limite et l’intégration sur les variables cachées .

Cet échange de l’ordre des opérations fait passer la description de trajectoire à un point de vue ensembliste :
La notion de trajectoire non différentiable pour des particules en mouvement brownien est une bonne approximation lorsque la moyenne est faite sur une échelle de temps suffisamment grande devant l’échelle de temps microscopique . Au-dessous de cette échelle, les trajectoires sont différentiables. Au-delà, elles sont tellement chaotiques qu’une description de la dynamique en termes d’ensemble de particules est plus appropriée.

A partir de cette hypothèse de commutativité des opérations limite et intégration, l’énergie moyenne (conservée) conduisant à l’équation de Schrödinger est retrouvée (à condition d’avoir défini l’énergie cinétique de façon invariante par rapport au renversement du temps Eq. 41).

C’est seulement si l’effet des variables cachées sur les observables respecte l’invariance par renversement du temps que les équations quantiques sont retrouvées.

(Lire la suite…)

Voici un article « Event-by-event simulation of EPR-Bohm experiments » dans lequel les auteurs proposent une simulation numérique de l’expérience EPRB. Dans cet article, ils présentent un algorithme générant deux ensembles de données, notés permettant de retrouver la corrélation quantique en .
La corrélation naïve classique est linéaire et n’est pas vérifiée par l’expérience, contrairement à la relation en cosinus (provenant de la loi de Malus).
Les deux points importants de l’article sont la notion de fenêtre temporelle pour la mesure d’une coïncidence et la définition d’un instant de mesure stochastique. Les événements sur les détecteurs et interviennent en coïncidence (i.e. proviennent d’une paire de particules corrélées) s’ils ont lieu dans cette fenêtre de temps. Les variables aléatoires de spin sont corrélées classiquement (le spin 1 est opposé au spin 2). L’instant de la mesure au niveau d’un détecteur est généré aléatoirement aussi selon une distribution uniforme dans un intervalle particulier.

C’est là où je ne vois pas comment ils ont choisi cet intervalle et en particulier comment il peut être justifié. Pour l’événement n° , la particule 1, et le détecteur , l’instant de la mesure du spin est donné par une variable aléatoire dans l’intervalle
.
est un paramètre qui lorsqu’il vaut 0, permet de retrouver la corrélation linéraire du modèle naïf classique à la Bell ; et lorsqu’il vaut 3 permet d’obtenir une corrélation en cosinus telle que la corrélation quantique.

Deux mesures sur les deux détecteurs sont considérées en coïncidence si la différence entre les instants des mesures est plus petite que la fenêtre de temps choisie précédemment. Ici intervient un autre paramètre qui est la taille de cette fenêtre. La façon dont est choisi ce paramètre n’est pas claire.

Lorsque le paramètre est supérieur à 3, la corrélation est plus forte que celle prédite par la mécanique quantique. Ce paramètre semble être relié au nombre de composantes de la variable physique à décrire. Dans le cas d’un spin à trois composantes, , dans le cas d’un photon à 2 composantes, pour retrouver la corrélation quantique.

Mis à part que l’algorithme proposé reproduit les corrélations attendues par la théorie quantique et l’expérience, j’ai le sentiment qu’il manque des justifications pour les formules utilisées et les paramètres définis (d’autres articles plus détaillés semblent prévus par les auteurs).

Par contre, il ressort clairement qu’en jouant avec la temporalité des événements, on arrive à reproduire des statistiques semblables à celles obtenues par la théorie quantique. Cela me fait d’ailleurs penser à un autre exemple de simulation dans lequel une discrétisation du temps permettait de reproduire les figures interférences dans un dispositif de fentes d’Young.

L’article et d’autres références du même auteur sont disponibles ici.

Une idée me trotte dans la tête depuis quelques temps : Et si la mécanique quantique était une théorie probabiliste générique capable de faire des prédictions sur des phénomènes chaotiques. Plusieurs pistes conduisent à penser à quelque chose de ce genre, même si l’idée précise n’est pas encore claire. Parmi ceux qui me font suspecter ce lien entre mécanique quantique et chaos, il y a Prigogine, Morey Bailly, Adler, Nottale, Smolin…

Un article récent au titre prometteur discute cette idée :

On the Possibility of Nonlinearities and Chaos Underlying Quantum Mechanics.

Malheureusement, je trouve que l’article est très léger pour un article scientifique. 80% du papier sert seulement à présenter la théorie du chaos, les « maps » unimodales et la loi de décroissance exponentielle de la radioactivité, le théorème de Bell et quelques « réfutations ». Tout ce qui est présenté est très académique. Le seul paragraphe nouveau (au moins pour moi) est le paragraphe IV.4 dans lequel McHarris présente les travaux de Tsallis sur l’extension de la définition de l’entropie. Cette définition étendue conduit à une thermodynamique « non extensive ». L’entropie généralisée s’écrit :

et se réduit à l’entropie usuelle lorsque :

où est le nombre de cellules de l’espace des phases de même mesure et la probabilité du système d’être dans la cellule . Cette entropie a la propriété d’être subadditive q < 1 ou superadditive q > 1 et dans ce cas, la somme d’entropie conduit à des termes croisés (rappelant à l’auteur les termes croisés que l’on retrouve en mécanique quantique).

Il reste pourtant que cette entropie a peu de justification théorique pour le moment et que le lien avec la mécanique quantique est encore lointain.
Au final, les liens entre mécanique quantique et chaos présentés dans ce papier ne sont (à mon avis) que quelques vagues idées sans grand fondement. Bien sûr, peut-être que certaines de ces idées peuvent servir de guide pour un travail de recherche, même si elles sont bien floues…

« Nine formulations of quantum mechanics » de D. F. Styer et al. dans American Journal of Physics — March 2002 — Volume 70, Issue 3, pp. 288-297.Voici un article qui présente brièvement et pédagogiquement 9 formulations de la mécanique quantique (et non ses interprétations, la nuance étant que les formulations sont différentes approches mathématiques alors que les interprétations sont plus du point de vue conceptuel). On pourra trouver l’article ici (si le lien est toujours valide).

Je note ici les points essentiels de chaque formulation. Cependant, l’article donne en plus les références incontournables et également les références historiques. Pour chaque formulation, les auteurs s’attachent également à considérer comment se différencient les bosons des fermions, ce dont je ne parlerai pas dans ce post.

1. La formulation matricielle de Heisenberg. C’est la formulation dans laquelle les observables sont représentées par des matrices (aussi appelées « opérateurs »). Les valeurs propres des matrices correspondent aux valeurs mesurables dans les expériences. Les états quantiques sont des vecteurs indépendant du temps. La dépendance temporelle est portée par les opérateurs. Cette formulation est très pratique pour résoudre les problèmes d’oscillateurs harmoniques et de moments angulaires.
2. La formulation de la fonction d’onde de Schrödinger. Le concept important n’est plus la quantité mesurable, mais l’état quantique qui est une fonction complexe dans un espace de configuration à 3 dimensions (pour 1 particule). Contrairement à ce que souhaitait Schrödinger, la fonction d’onde n’a pas d’existence réelle ; elle est principalement un outil de calcul des probabilités des observations possibles. La dépendance temporelle est portée par la fonction d’onde, et non plus par les opérateurs. C’est la formulation la plus courante de la mécanique quantique.
3. La formulation de l’intégrale de chemin de Feynman. Le concept important n’est plus l’état mais la probabilité de transition entre un état initial et un état final. Dans cette formulation, on énumère tous les chemins possibles permettant de passer de l’état initial à l’état final. A chaque chemin est affectée une « amplitude » de probabilité. Le module carré de la somme sur tous les chemins de ces amplitudes donnent la probabilté de transition recherchée. Cette formulation est loin d’être pratique à utiliser sauf dans les simulations de Monté-Carlo de systèmes quantiques.
4. La formulation de la distribution de (quasi-)probabilité dans l’espace des phases de Wigner. Le concept central est la distribution de l’espace des phases notée qui remplace la fonction d’onde. Cette distribution offre l’avantage d’être purement réelle (contrairement à la fonction d’onde qui est complexe) et de donner facilement la densité de probabilité de la position ou de l’impulsion par simple intégration. Mais ce n’est pas une densité de probabilité dans l’espace des phases car elle peut prendre des valeurs négatives. Elle n’est pas non plus la façon la plus économique d’enregistrer de l’information sur l’état quantique. Son utilisation est essentiellement en optique quantique. Elle est très utile pour considérer la limite classique.
5. La formulation de la matrice densité (ou opérateur densité). Cette formulation est particulièrement performante lorsqu’il s’agit de travailler avec des états mixtes (faisant intervenir des mélanges statistiques d’états quantiques). La fonction d’onde ne permet de représenter simplement des mélanges statistiques d’états. La matrice densité est toujours hermitienne. Les calculs de moyenne d’opérateurs se font à l’aide de la formule de trace. Comme la distribution de Wigner, la matrice densité est coûteuse en termes de stockage d’information sur l’état quantique. Néanmoins, elle trouve des applications dans plusieurs domaines de la physique et en particulier en physique quantique statistique.
6. La formulation de la seconde quantification (ou formalisme du nombre d’occupation). Dans cette formulation en étroite relation avec la théorie quantique des champs, le concept central est celui d’opérateur de création et d’annihilation de particule. Cette formulation est fondamentale pour l’étude des systèmes à plusieurs particules. Les opérateurs agissent sur un état de vide quantique de particule et permettent la création de particules à partir du vide ou la destruction de particules existantes.
7. La formulation variationnelle. Elle s’inspire du principe de Hamilton (principe de moindre action) de la physique classique. Le concept ici est la fonction d’onde qui minimise l’intégrale d’action sur le temps et l’espace de configuration. Ce critère de minimisation est équivalent à l’équation de Schrödinger. Cette formulation est un outil puissant pour étendre la physique à de nouveaux domaines.
8. La formulation de l’onde pilote de de Broglie-Bohm. Cette formulation propose une description corspuculaire des particules dans l’espace physique et en même temps utilise une fonction d’onde (l’onde pilote) dans l’espace des configurations qui contraint le mouvement des particules. Les équations du mouvement font apparaître une énergie potentielle d’origine purement quantique : le potentiel quantique. Ce potentiel est le responsable des phénomènes quantiques. Cette formulation n’est pas simple d’utilisation mais elle offre une vision proche de la physique classique.
9. La formulation de Hamiton-Jacobi. Dans cette formulation, un changement adéquat de variable permet d’écrire les équations du mouvement avec l’ensemble de variables dites d’action et d’angle. La formulation de la mécanique quantique sous cette forme est récente (1983) et est due à R. Leacock et M. Pagdett. Le concept central est la fonction principale de Hamilton . Cette approche permet d’obtenir des valeurs propres de l’énergie sans recourir aux vecteurs propres, très utile dans les problèmes d’états liés.

Ces différentes approches formulent de manière différente l’étrangeté de la mécanique quantique, mais aucune ne peut l’éliminer.

Un mot sur les interprétations :

• Il y a l’interprétation des mondes multiples d’Everett dans laquelle toutes les histoires existent en parallèle, mais seule une histoire nous concerne. C’est probablement l’interprétation la plus naturelle lorsque l’on part de la formulation de Schrödinger. Ce qui ne veut pas dire selon moi que c’est l’interprétation qui a le plus de sens.
• Il y a aussi l’interprétation transactionnelle de Cramer dans laquelle à la fois sources et détecteurs de particules émettent une onde (retardées et avancées). Les interférences destructives assurent que la particule arrive sur le détecteur après avoir quitté la source. Cette interprétation que je connais très peu permettrait de mieux visualiser des processus quantiques complexes et d’analyser rapidement des situations autrement paradoxales.
• La théorie de la fonctionnelle densité de Hohenberg et Kohn est un outil très puissant pour traiter les états fondamentaux de systèmes complexes en matière condensée et en chimie.
• La théorie de la décohérence s’attache à expliquer pourquoi le monde macroscopique n’est pas quantique.
• Les histoires consistentes de Griffiths sont une autre interprétation.
• La localisation spontannée continue étudie l’effondrement de la fonction d’onde en modifiant l’équation de Schrödinger.

A découvrir :

The Music of the Quantum

Une composition de Jaz Coleman jouée en mars 2003 à New York.

La musique idéale pour lire de la physique quantique

Sur le site, vous pouvez écouter le concert et même visionner des vidéos : sélectionnez le lien « The music of the quantum ».