Voici un article de revue qui peut intéresser les joueurs Les auteurs étudient de façon précise la dynamique du  jet d’une pièce de monnaie d’épaisseur non nulle.

Ils étudient la configuration finale de la pièce (pile, face, tranche) en fonction des paramètres initiaux que sont la position, la configuration, l’impulsion et le moment angulaire à l’origine du mouvement. Chaque point de l’espace des paramètres initiaux conduit à une configuration finale. La configuration finale a 3 bassins d’attraction dans l’espace des paramètres : le bassin d’attraction « pile », le bassin d’attraction « face » et le bassin d’attraction « tranche » (c’est-à-dire les paramètres initiaux conduisant à « pile », « face » ou « tranche »).

Les équations gouvernant le mouvement de pièce sont celles de la mécanique de Newton. Ces équations sont déterministes et donc à moins d’une influence externe aléatoire ou d’une dynamique chaotique, le résultat du jet est déterminé uniquement par les conditions initiales.

Les auteurs affirment que la configuration finale de la pièce peut être prédit de façon précise lorsque les conditions initiales sont connues. Il n’y a pas d’incertitude dynamique due à une divergence exponentielle due à une sensibilité aux conditions initiales ou à des frontières fractales des bassins d’attraction.

L’analyse a été faite avec une pièce en 3 dimensions ayant une épaisseur. Le cas des pièces uniformes et non-uniformes, l’influence de la résistance de l’air et l’impact de la pièce sur le sol ont également été étudiés.

Il en résulte que

1. La résistance de l’air dévie la trajectoire du centre de masse de la pièce de la verticale et amortit les rotations. Elle peut être négligée lorsque la hauteur est faible.
2. Les rebonds de la pièce sur la surface influent sur le résultat : des rebonds successifs introduisent une sensibilité accrue aux conditions initiales indiquant la mise en place d’un phénomène chaotique.

Les frontières entre les différents bassins d’attraction dans l’espace des paramètres initiaux sont lisses (non fractales). On trouve donc des régions dans l’espace des paramètres pour lesquelles on peut déterminer de façon certaine le résultat du lancer. Cependant, en pratique, ces régions sont si petites qu’un changement des paramètres initiaux permet facilement de franchir la frontière entre deux régions.

On peut donc continuer à tirer à pile ou face lorsque l’on veut prendre une décision de manière aléatoire, du moment que l’on ne maîtrise pas complètement les paramètres initiaux ou que la pièce rebondit plusieurs fois…

Référence : Physics Reports : Dynamics of coin tossing is predictable de J. Strzałko et al.

Pour ceux que ça intéresse, une conférence de Gilles Cohen-Tannoudji aura lieu le 3 mars à l’Institut d’Astrophysique de Paris.
Le titre : « Une brève histoire de la matière ».

Plus d’info sur http://www.iap.fr/InformationCommunication/ConferencesPubliques/ConferencesPubliques.html

Après une absence longue de plus d’un an, les séminaires Poincaré reprennent. Le prochain aura lieu le 31 janvier et portera sur la physique et biologie.

Le programme prévu est le suivant :

• 10 h Jean-Francois Joanny- Jacques Prost :
  Gels Actifs
• 10 h Jonathon Howard :
  Motor Proteins as Nanomachines: Motion, Force and
  Fluctuations
• 14h Vincent Croquette :
  Etude des enzymes de la réplication en molécules uniques
• 15h Ray Goldstein :
  Evolution of Biological Complexity
• 16h Stanislas Dehaene :
  Brain mechanisms for conscious access

Voilà peut-être une journée qui pourra réjouir quelques blogueurs à la frontière entre biologie et physique (Voir les discussions de Pablo et Tom Roud).

Rendez-vous également sur le site officiel pour y trouver les textes des précédents exposés.

En visitant les stands de la fête de la science au Grand-Palais l’autre week-end, j’ai trouvé cette information dans une brochure du CEA. Cette carte en ligne du CEA présente 7000 noyaux allant du noyau de carbone au noyau d’Untrinilium en passant par le darmstadtium.
Tous ces noyaux n’ont pas encore été découverts, mais le calcul de leurs propriétés est déjà prêt. La chasse se poursuit notamment au GANIL.
Le supercalculateur CCRT du CEA utilisé a une puissance de 50 téraflops !! Impressionnant ?
D’après ce classement, il n’est que le 64ième mondial. Les neufs premiers du classement sont américains et le 10ième est chinois. Le premier français est 14ième.

Sur le même sujet que le précédent billet, voici un article récent de C. Wetterich qui montre comment la mécanique quantique peut émerger de la statistique classique. La présentation est plus ardue que pour l’article de Klein, mais semble aussi plus complète.
Après une première lecture, je note que Wetterich retrouve la plupart des lois de la mécanique quantique à partir du concept d’observable probabiliste : le principe d’incertitude de Heisenberg, la superposition des états quantiques, les interférences, les caractéristiques de l’intrication quantique, l’apparition de la fonction d’onde, les états purs et impurs, l’équation de Schrödinger et même la décohérence.

Pour le moment, je n’ai pas encore tout saisi donc je ne dirai rien de plus précis sur ce papier et surtout pas s’il y a un lien entre ce papier et celui de Klein. Je dois un peu plus étudier cet article avant d’être capable de le dire.

Cependant, une phrase de la conclusion me surprend tout de même :

it is well known that classical statistics can be obtained as limiting case of quantum mechanics

Pour moi, ça ne me semble pas si évident. On connaît en effet en mécanique quantique la limite semi-classique qui consiste à faire tendre la constante de Planck vers 0, mais cela ne suffit pas à retrouver la physique classique. Si la physique classique pouvait se déduire de la physique quantique, on comprendrait certainement mieux cette dernière. Il semble ajouter cette phrase pour éviter d’entrer dans le débat des interprétations de la mécanique quantique uniquement, bien que tout l’article essaie de montrer que la mécanique quantique pourrait se comprendre comme une théorie statistique classique.

Quoiqu’il en soit, cet article mérite d’être approfondi et notamment deux références antérieures du même auteur qui sont des exemples explicites de la relation entre statistique et mécanique quantique :

• Probabilistic observables, conditional correlations, and quantum physics
• Quantum entanglement and interference from classical statistics

Il est couramment reconnu que la mécanique quantique est une théorie probabiliste ne permettant pas de prédire des événements individuels, mais s’attachant plutôt à donner des probabilités d’apparition de chaque type d’événement. En ce sens, la mécanique quantique est plutôt une théorie statistique qu’une théorie déterministe.
L’article suivant « The statistical origin of quantum mechanics » enfonce le clou et va plus loin.

Tout d’abord, l’auteur définit trois types de théories :

1. type 1 : les théories déterministes. Un événement est complètement décrit par les lois déterministes et la connaissance des conditions initiales. L’exemple type est la mécanique classique.
2. type 2 : les lois sont déterministes mais les conditions initiales sont inconnues. Les prédictions de ces théories portent sur un ensemble d’individus. L’exemple type est la mécanique statistique
3. type 3 : il n’y a plus ni lois déterministes, ni conditions initiales connues. Nous allons voir que ce type de théories comprend la théorie quantique (même si l’équation de Schrödinger est déterministe, elle ne porte pas pour autant sur des événements individuels)

L’auteur commence avec un ensemble de deux équations différentielles (lois déterministes) d’un système classique à une dimension.


où
Les observables du système, que sont la position et l’impulsion , sont ensuite remplacées par les valeurs moyennes de variables aléatoires ayant chacune une loi de probabilité inconnue. Les équations obtenues forment une théorie non déterministe puisque les lois ne s’appliquent plus à des événements individuels mais à des ensembles statistiques.

L’auteur appelle cet ensemble d’équations les conditions statistiques. Ces équations définissent une infinité de théories possibles. Pour restreindre le champ des théories possibles, une loi de conservation locale des probabilités est supposée. Avec cette loi de conservation et les conditions statistiques, l’auteur retrouve des caractéristiques propres à la théorie quantique comme la représentation de l’impulsion sous forme d’opérateur hermitique et la relation entre les densités de probabilité dans l’espace de configuration et celles dans l’espace des impulsions (équ. 20).

En passant, l’auteur trouve une condition de classicalité des théories sous la forme d’une condition d’indépendance de dans la densité de probabilité de la position , étant une fonction obtenue après transformation des conditions statistiques. Il montre ainsi que les théories de type 1 et 2 sont classiques et que les théories de type 3 sont non classiques dans le sens où dépend de . Par ailleurs, cette dépendance ne peut pas être décrite par des concepts de théories déterministes sous forme d’« interaction » (on pense ici à l’intrication quantique).

L’équation de conservation de probabilité et la deuxième condition statistique conduisent aux parties réelles et imaginaires respectivement de l’équation de Schrödinger.

La loi de conservation de l’énergie découle habituellement des équations (via le theorème de Noether). Ici, puisque les lois ne s’appliquent plus à des événements individuels, elle doit être posée comme condition statistique : « La moyenne statistique de la variable aléatoire énergie est indépendante du temps ». L’auteur montre ensuite que la mécanique quantique est la seule théorie statistique qui vérifie cette condition supplémentaire.

Pour l’occasion de la fête de la science, le Grand Palais abritera le LHC ou plutôt un de ses détecteurs appelé CMS et en version miniature évidemment.
Plus d’informations :

• La Ville européenne des Sciences, 14, 15, 16 novembre 2008, nef du Grand Palais, Paris, France
• Le LHC s’installe à la Nef du Grand Palais
• Formulaire de recherche sur la fête de la science en Ile-de-France

Voici un livre sur les mathématiques utilisées en physique quantique : Guide to Mathematical Concepts of Quantum Theory. Il est conçu comme un guide présentant les différents concepts mathématiques nécessaires pour aborder la théorie quantique.

Une expérience de physique quantique peut se découper en plusieurs phases :

1. la phase de préparation
2. la phase d’évolution
3. la phase de mesure

Selon les descriptions, la phase d’évolution peut être absorbée dans l’une des deux phases (voir par exemple p. 32 de mon résumé du livre de Bitbol).

On retrouve ces étapes dans les différents chapitres du livre :
Les auteurs introduisent étape par étape les concepts de la théorie quantique d’un point de vue mathématique. Le livre commence par un rappel sur l’espace de Hilbert, puis enchaîne sur les définitions des états quantiques et de leurs effets (définis comme les valeurs possibles que peuvent prendre les états quantiques lors des mesures). Les observables sont vues comme une collection d’effets et un chapitre entier leur est dédié. La phase d’évolution est présentée au chapitre 5 avec les opérations et les canaux quantiques. Puis viennent la mesure et l’intrication.

Les auteurs ne font pas que présenter le formalisme mathématique de la physique quantique, ils abordent également des problèmes d’actualité tels que la cryptographie quantique avec la distribution des clés quantiques, les ordinateurs quantiques (théorème de non clonage quantique)…

L’intérêt du livre est double : il se propose d’être un guide mathématique des concepts de la théorie quantique et ce guide est objectif en ce sens qu’il ne propose aucune interprétation du formalisme quantique (voir la fin de ce billet pour un mot sur les interprétations ou bien l’article de wikipedia plus complet). C’est ce qui le rend intéressant. Même si notre esprit éprouve des difficultés à appréhender le monde quantique, il est tout de même capable de produire une théorie mathématique falsifiable.

Comprendre les mathématiques capables de reproduire les divers phénomènes de la nature me paraît un bon point de départ pour comprendre la nature elle-même.

Source : [0809.0616] Event-by-event simulation of double-slit experiments with single photons

L’objectif de l’article est de montrer que les figures d’interférences produites par des expériences de type « fentes d’Young » peuvent être simulées par ordinateur en posant un modèle de type corpusculaire et en modélisant judicieusement les détecteurs.

Le modèle proposé est strictement local et causal et décrit complètement l’apparition d’interférences. Il s’exprime en termes de particules seulement et n’utilise ni les concepts de la mécanique quantique, ni ceux des probabilités. Les photons sont émis par une source un à un et n’ont pas d’interaction entre eux. Ils possèdent l’information de la fente par laquelle ils sont passés (encodée dans la phase)., mais cette information n’est pas utilisée directement pour la reconstruction des interférences.

Tout réside dans la modélisation du détecteur de photons qui se veut un peu plus réaliste que d’habitude. En effet, le modèle prend en compte les effets de mémoire et de seuil des détecteurs.

Les protagonistes de la simulation sont les suivants :

1. Le photon est modélisé par un vecteur à deux dimensions représentant la phase du champ électromagnétique . Sa phase porte l’information du temps de vol (modulo la longueur d’onde) et est calculée selon les lois de l’optique géométrique.
2. La source « attend » que le photon ait atteint le détecteur avant d’envoyer le photon suivant.
3. Le détecteur possède un vecteur interne de polarisation de norme inférieure à 1. Ce vecteur de polarisation est mis à jour lors de la réception d’un photon par la formule . Et le signal de sortie du détecteur vaut 1 (photon détecté) lorsque le module de la polarisation est supérieur à un seuil , sinon 0 (photon non détecté). Le paramètre contrôle la mémoire du détecteur entre chaque photon ainsi que l’effet du champ électromagnétique du photon sur le détecteur. le paramètre est aléatoire et représente l’imprévisibilité de la réponse du détecteur.

Ces équations ne sont pas prises au hasard mais respecte la théorie de Maxwell.

Le détecteur a une extension spatiale limitée. Il en faut donc une grande quantité pour former un écran derrière les fentes d’Young.

Avec ce modèle, les auteurs reproduisent les résultats quantitatifs des expériences de la double fente, de l’interférence de deux sources et du biprisme de Fresnel.

L’accord avec les différentes expériences est obtenu avec .

Plusieurs points mériteraient probablement d’être détaillés dans l’article :

• Pourquoi cette valeur de , comment varient les figures d’interférences lorsque varie.
• Quelle est la distribution utilisée pour le seuil ? Et quelle est sont influence sur les interférences ? Faut-il nécessairement avoir un seuil aléatoire ?
• Quelle est l’extension spatiale d’un détecteur ? Que se passe-t-il lorsque l’on fait varier ce paramètre ?

Un des auteurs avait déjà proposé une simulation de l’expérience EPR reproduisant les caractéristiques quantiques à partir d’un modèle classique dans lequel le détecteur joue un rôle essentiel.

Ces modèles sont intéressants parce qu’ils montrent qu’on peut reproduire les phénomènes soit-disant typiquement quantique à l’aide de modèles réalistes simples. Ils ne remettent pas en cause la mécanique quantique mais participent à sa démystification. Cependant cela restent des modèles pour lesquels certains paramètres sont ajustés de façon à coincider avec les expériences. Il me semble que pour le moment, aucun de ces modèles ne justifie complètement les valeurs des différents paramètres.

PS: En recherchant des références pour ce billet, je suis tombé sur ce site avec des simulations visuelles d’optique ondulatoire. A visiter pour ceux qui veulent se remémorer ou simplement découvrir les différents types d’interférences.

[0705.4303] Database Manipulation on Quantum Computers

Dans cet article, l’auteur tente de définir les opérations principales de manipulation de données dans les bases de données classique, à savoir les quatre opérations fondamentales du langage SQL :

• Select : trouver un élément
• Insert : ajouter un élément
• Update : modifier un élément
• Delete : supprimer un élément

L’auteur définit les opérations élémentaires d’un nouveau language de requêtes appelé QQL (Quantum Query Language) censé reproduire le SQL pour une base de données quantique.

Pour avoir un intérêt, la base de données doit se trouver dans un état de superposition quantique. Elle consiste en un registre de qubits, étant le nombre de qubits de stockage (permettant de stocker enregistrements) et étant le nombre de qubits temporaires nécessaires pour les diverses opérations.

L’auteur propose des opérateurs quantiques pour les opérations INSERT, UPDATE qui permettent d’insérer ou de mettre à jour plusieurs enregistrements en même temps. Pour l’opération de DELETE, la question reste encore grandement ouverte et quelques pistes sont proposées. L’opération de SELECT est résolue par l’Oracle quantique (voir l’algorithme de Grover ou sur wikipedia).

Un article plus récent propose également un langage appelé QQL, mais l’accès n’étant pas gratuit, je n’ai pas encore pu le lire (la problématique abordée semble néanmoins différente)…