Faites vos jeux…
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Voici un énoncé de jeu de hasard pas très conventionnel.
Le jeu se joue avec un dé normal à 6 faces numérotées de 1 à 6. Le dé n’est pas pipé. La probabilité de tirer une des six faces est donc de 1/6. Un joueur annonce :
« si le jet du dé sort un nombre pair alors ce sera le nombre 2 ou bien si le jet sort un nombre inférieur à 5 alors ce nombre sera inférieur à 4. »
Il faut comprendre « inférieur » au sens « inférieur strict ».
La question est la suivante :
Quelles sont les chances de gagner de ce joueur ?
S’il y a des amateurs de jeux de hasard ou des mathématiciens parmi mes lecteurs, je serais curieux de connaître leur estimation ; et évidemment, pour ceux qui auraient la bonne réponse, le raisonnement pour y arriver. D’après l’article duquel je tire cet énoncé, la théorie des probabilités usuelle n’est pas capable de répondre à ce type de questions. Je ne donne pas la référence immédiatement. J’attends qu’il y ait quelques réponses d’abord (et s’il n’y a pas de réponse, c’est que ça n’intéresse personne et ce ne sera pas la peine de donner la référence 
).
Avis aux amateurs…
L’énoncé est un peu bizarre. Tu perds clairement si tu sors 4 ou 6, tu gagnes forcément si tu sors 1, 2, ou 3, par contre on ne sait pas quelle est l’issue eu jeu si on sort 5. Quoi qu’il en soit la proposition est vraie dans 4 cas sur 6 (1,2,3 et 5), donc 2 chances sur 3 de gagner ?
Commentaire par Tom Roud — 5 avril 2008 @ 19:48
Ton raisonnement débute correctement et tu notes bien que le cas où le dé donnerait 5 est un cas indéfini. Mais pourquoi alors compter ce cas comme une proposition vraie ?
Commentaire par Sebastiao Correia — 6 avril 2008 @ 0:17
Premier cas, 1 chance sur 3 (les cas impairs sont ni gagnants ni perdants).
Deuxième cas, 3 chances sur 4 (5 et 6 sont ni gagnants ni perdants).
Commentaire par blop — 12 avril 2008 @ 19:52
Blop, il n’y a qu’une proposition, et non deux. Il faut donner la proba que la proposition soit vraie. Tom n’est pas trop loin de la solution…
Commentaire par Sebastiao Correia — 12 avril 2008 @ 21:44
Donc j’en déduis que la possibilité où on a un 5 est comptée comme fausse, donc une chance sur deux, c’est ça ? En fait la première proposition est inutile, d’ailleurs on peut remplacer le ou bien pas un et.
Commentaire par Tom Roud — 23 avril 2008 @ 19:58
Eh non, le cas où 5 sort n’est ni vrai ni faux. Comme tu l’avais noté tout d’abord, on ne sait pas ce qui se passe lorsque c’est la valeur 5 qui sort. La proposition est indéfinie. On a donc affaire à une logique tri-valuée.
Pour la solution qui nous intéresse ici, une façon de faire est de bien dénombrer les cas possibles, c’est-à-dire les cas qui sont concernés par la proposition du joueur. 5 n’entre pas dans les cas possibles. Les autres valeurs sont possibles et permettent d’obtenir une valeur de vérité vrai ou fausse pour la proposition. Il y a donc 5 cas possibles.
Les cas favorables sont 1, 2 ou 3. Ce qui donne une probabilité de 3/5.
Tout se passe en fait comme si les coups où le dé donne 5 ne sont pas pris en compte.
Complément d’information:
L’article dans lequel on peut retrouver cet exemple est celui-ci (p. 25)
La logique proposée dans cet article est un peu artificielle. Ce qui est intéressant, c’est qu’elle généralise la logique booléenne et considère comme élément fondamental les propositions conditionnelles (A|B). Les propositions conditionnelles sont vraies ou fausses selon que A est vraie ou fausse sachant que B est vraie. Lorsque B est fausse, la proposition (A|B) n’a pas de sens et est donc évitée en logique booléenne. Calabrese (l’auteur) autorise ces propositions et leur donne une troisième valeur de vérité (« indéfinie »). Notons cependant que la logique obtenue n’est pas la même que celle de Kleene (que l’on retrouve dans les bases de données).
Cela lui permet de définir des règles de calcul de probabilités qui permettent de résoudre formellement le type de problème qu’on a vu. Alors qu’il semble que ça ne soit pas possible avec la logique booléenne (si quelqu’un me montre le contraire, je suis intéressé).
Sa logique me paraît bien ficelée, mais si l’un de ses axiomes est absurde (ce qui ne m’a pas semblé le cas), tout l’édifice s’écroule. Et il y a deux points qui me font rester prudent quant à cette logique : Jaynes était (semble-t-il) très méfiant envers ce type de logique et d’autre part elle n’a pas la même table de vérité que la logique de Kleene qui semble bien naturelle.
Commentaire par Sebastiao Correia — 23 avril 2008 @ 20:20