La mécanique quantique comme théorie statistique
Posted By Sebastiao Correia On 1 novembre 2008 @ 22:15 In Statistiques, quantique | Comments Disabled
Il est couramment reconnu que la mécanique quantique est une théorie probabiliste ne permettant pas de prédire des événements individuels, mais s’attachant plutôt à donner des probabilités d’apparition de chaque type d’événement. En ce sens, la mécanique quantique est plutôt une théorie statistique qu’une théorie déterministe.
L’article suivant « The statistical origin of quantum mechanics » [1] enfonce le clou et va plus loin.
Tout d’abord, l’auteur définit trois types de théories :
- type 1 : les théories déterministes [2]. Un événement est complètement décrit par les lois déterministes et la connaissance des conditions initiales. L’exemple type est la mécanique classique [3].
- type 2 : les lois sont déterministes mais les conditions initiales sont inconnues. Les prédictions de ces théories portent sur un ensemble d’individus. L’exemple type est la mécanique statistique [4]
- type 3 : il n’y a plus ni lois déterministes, ni conditions initiales connues. Nous allons voir que ce type de théories comprend la théorie quantique [5] (même si l’équation de Schrödinger [6] est déterministe, elle ne porte pas pour autant sur des événements individuels)
L’auteur commence avec un ensemble de deux équations différentielles (lois déterministes) d’un système classique à une dimension.
où 
Les observables du système, que sont la position 
et l’impulsion 
, sont ensuite remplacées par les valeurs moyennes de variables aléatoires ayant chacune une loi de probabilité inconnue. Les équations obtenues forment une théorie non déterministe puisque les lois ne s’appliquent plus à des événements individuels mais à des ensembles statistiques.
L’auteur appelle cet ensemble d’équations les conditions statistiques. Ces équations définissent une infinité de théories possibles. Pour restreindre le champ des théories possibles, une loi de conservation locale des probabilités est supposée. Avec cette loi de conservation et les conditions statistiques, l’auteur retrouve des caractéristiques propres à la théorie quantique comme la représentation de l’impulsion sous forme d’opérateur hermitique [7] et la relation entre les densités de probabilité dans l’espace de configuration et celles dans l’espace des impulsions (équ. 20).
En passant, l’auteur trouve une condition de classicalité des théories sous la forme d’une condition d’indépendance de 
dans la densité de probabilité de la position 
, 
étant une fonction obtenue après transformation des conditions statistiques. Il montre ainsi que les théories de type 1 et 2 sont classiques et que les théories de type 3 sont non classiques dans le sens où dépend de 
. Par ailleurs, cette dépendance ne peut pas être décrite par des concepts de théories déterministes sous forme d’« interaction » (on pense ici à l’intrication quantique [8]).
L’équation de conservation de probabilité et la deuxième condition statistique conduisent aux parties réelles et imaginaires respectivement de l’équation de Schrödinger.
La loi de conservation de l’énergie découle habituellement des équations (via le theorème de Noether [9]). Ici, puisque les lois ne s’appliquent plus à des événements individuels, elle doit être posée comme condition statistique : « La moyenne statistique de la variable aléatoire énergie est indépendante du temps ». L’auteur montre ensuite que la mécanique quantique est la seule théorie statistique qui vérifie cette condition supplémentaire.
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URLs in this post:
[1] « The statistical origin of quantum mechanics »: http://fr.arxiv.org/abs/0810.2394
[2] déterministes: http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminisme
[3] mécanique classique: http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_classique
[4] mécanique statistique: http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_statistique
[5] théorie quantique: http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_quantique
[6] équation de Schrödinger: http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger
[7] opérateur hermitique: http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_hermitique
[8] intrication quantique: http://fr.wikipedia.org/wiki/Intrication_quantique
[9] theorème de Noether: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique)
[10] : http://fr.wikipedia.org/wiki/Crochet_de_Poisson#Quantification_canonique
[11] : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Ehrenfest#Relations_d.27Ehrenfest
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Comments Disabled To "La mécanique quantique comme théorie statistique"
#1 Comment By Tom Roud On 2 novembre 2008 @ 14:21
Et quid de « l’astuce » qui consiste à passer du classique au quantique en remplaçant crochet de Poisson par commutateur ?
#2 Comment By Sebastiao Correia On 2 novembre 2008 @ 18:37
Comme tu le dis, c’est [10] et je ne crois pas en connaître une démonstration.
Et si mes souvenirs de mécanique classique sont bons, l’utilisation des nombres complexes est une astuce également pour résoudre les équations différentielles, mais au final on se ramène toujours à la partie réelle de la solution car elle seule a un sens.
Ce n’est pas le cas en mécanique quantique où les nombres complexes jouent un rôle essentiel.
En fait, on peut dire que l’auteur utilise lui aussi une astuce en partant des [11] sans faire aucune supposition concernant les distributions de probabilité des positions et impulsions. Mais la justification est plus naturelle à mon avis car ces relations sont effectivement vérifiées statistiquement. Tout le reste de l’article consiste à montrer qu’on retrouve bien la mécanique quantique (en particulier l’équation de Schrödinger) et mieux : qu’on ne pouvait que trouver la mécanique quantique en posant les hypothèses de conservation de la loi de probabilité et de conservation de l’énergie en moyenne.